Dans la cuve du robot muni du crochet, placer la farine, les sucres, le lait, le rhum, les jaunes d'œufs, ainsi que la levure. Commencer à pétrir à petite vitesse pendant 5 min. Ajouter le beurre en morceaux puis augmenter la vitesse. Pétrir encore une quinzaine de minutes. Couvrir la cuve avec un film (ou un couvercle en silicone) et laisser doubler de volume à température ambiante (1h 30 à 2h).
Dégazer la pâte sur le plan de travail légèrement fariné et séparer en 3 pâtons de même poids (ou 6 si on choisit de faire deux brioches plus petites). Les façonner en longs boudins puis les tresser. Déposer la tresse sur une plaque perforée couverte d'un tapis de cuisson en silicone (ou de papier sulfurisé). Laisser de nouveau doubler de volume environ 1h (dans le four à 50° par exemple, c'est très efficace).
Préchauffer le four à 180° (chaleur tournante).
Badigeonner la tresse d'oeuf battu et saupoudrer de sucre en grains. Enfourner et laisser cuire 20 min.
À la sortie du four, laisser refroidir sur une grille.